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\newmdtheoremenv[
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% 定义说明环境样式
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\theoremstyle{mystyle}
\newtheorem*{zremark}{说明}


\begin{document}
\title{5.3 习题}
\maketitle

\section*{5.3.1}

\textbf{1.自反性$x=x$。}

证明：

对于任意有理数$\epsilon > 0$，因为$|a_n - a_n| = 0 < \epsilon $，
所以$(a_n)_{n=1}^\infty$与$(a_n)_{n=1}^\infty$是等价的柯西序列，由定义5.3.1可知$x=x$

\textbf{2.对称性$x=y$那么$y=x$。}

证明：

因为$x=y$所以$(a_n)_{n=1}^\infty$与$(b_n)_{n=1}^\infty$是等价的柯西序列，
由柯西序列的等价的定义可知，等价是相互的，所以$y = x$。

\textbf{3.传递性$x=y$和$y=z$那么$x=z$。}

证明：

任意有理数$\epsilon > 0$，$\frac{1}{2}\epsilon > 0$。

由$x=y$可知，两个序列是最终$\frac{1}{/2}\epsilon -$接近的，
所有存在$N \geq 0$使得对于所有的$n \geq N$均有$|a_n - b_n| \leq \frac{1}{2}\epsilon$。

由$y=x$同理可知，存在$N^\prime \geq 0$使得对于所有的$n \geq N^\prime$均有$|b_n - c_n| \leq \frac{1}{2}\epsilon$。

取$M=max(N,N^\prime)$，此时当$n \geq M$，
\begin{align*}
  |a_n - c_n| & = |a_n - b_n + b_n - c_n|                      \\
              & \leq |a_n - b_n| + |b_n - c_n|                 \\
              & \leq \frac{1}{2}\epsilon + \frac{1}{2}\epsilon \\
              & = \epsilon                                     \\
\end{align*}
所以序列$(a_n)_{n=1}^\infty,(c_n)_{n=1}^\infty$是最终$\epsilon -$接近的，于是$x=z$。

\section*{5.3.2}

\textbf{1.$xy$也是实数}

证明：

这里要证明$(a_nb_n)_{n=1}^\infty$也是有理数的一个柯西序列。

我们要证明对每一个$\epsilon > 0$，序列$(a_nb_n)_{n=1}^\infty$是最终$\epsilon-$稳定的。

因为$(a_n)_{n=1}^\infty$是柯西序列，所以是有界的，即存在$M_1 \ge 0$使得$|a_n|\leq M_1$对任意$n \geq 1$都成立。

因为$(b_n)_{n=1}^\infty$是柯西序列，所以是有界的，即存在$M_2 \ge 0$使得$|b_n|\leq M_2$对任意$n \geq 1$都成立。

取$M=max(M_1,M_2)$，则$|a_n|\leq M, |b_n| \leq M$对任意$n \geq 1$都成立。

又因为$(a_n)_{n=1}^\infty$与$(b_n)_{n=1}^\infty$是最终稳定的，
所以任意有理数$\epsilon>0$，存在$N \geq 0$，对$j,k \geq N$有，
\begin{align*}
  |a_j - a_k| \leq \epsilon \\
  |b_j - b_k| \leq \epsilon \\
\end{align*}

由命题4.3.7（h）可知，
\begin{align*}
  |a_jb_j - a_kb_k| & \leq \epsilon|b_j| + \epsilon|a_j| + \epsilon^2 \\
                    & \leq \epsilon (2 + \epsilon)
\end{align*}
由$\epsilon$的任意性可知，$(a_nb_n)_{n=1}^\infty$也是有理数的一个柯西序列。

\textbf{2.$x=x^\prime$，那么$xy = x^\prime y$，即乘法满足替换公理。}

证明：

要证明$xy = x^\prime y$，
即证明序列$(a_nb_n)_{n=1}^\infty$与序列$(a^\prime_nb_n)_{n=1}^\infty$是等价的。

（1）由于$x=x^\prime$可知，序列$(a_n)_{n=1}^\infty$与序列$(a^\prime_n)_{n=1}^\infty$是等价的，
所以对任意$\epsilon > 0$，两个序列是最终$\epsilon -$接近的，
即存在$N \geq 0$使得$n \geq N$有
\begin{align*}
  |a_n - a^\prime_n| & \leq \epsilon \\
\end{align*}

（2）又因为$(b_n)_{n=1}^\infty$是有理数的柯西序列，所以该序列是有界的，
即存在$M \geq 0$，对任意$n \geq 0$有
\begin{align*}
  |b_n| & \leq M \\
\end{align*}

由（1）（2）可知，对任意$n \geq N$有，
\begin{align*}
  |a_nb_n - a^\prime_nb_n| & = |(a_n-a^\prime_n)b_n| \\
                           & = |a_n-a^\prime_n||b_n| \\
                           & \leq M \epsilon
\end{align*}
由$\epsilon$的任意性与$M$是某个确定的有理数可知，序列$(a_nb_n)_{n=1}^\infty$与序列$(a^\prime_nb_n)_{n=1}^\infty$是最终接近的，
所以$xy = x^\prime y$

\section*{5.3.3}

（1）充分性

如果$a=b$，那么对任意$\epsilon > 0$，都有，
\begin{align*}
  |a_n - b_n| & =                 \\
              & = |a-b|           \\
              & = 0 \leq \epsilon
\end{align*}
于是$a=LIM_{n \rightarrow \infty}a,b=LIM_{n \rightarrow \infty}b$是相等的（等价的）。

（2）必要性

如果$a=LIM_{n \rightarrow \infty}a_n, b=LIM_{n \rightarrow \infty}b_n$是相等的（等价的）。
那么对任意$\epsilon > 0$，存在$N \geq 0$使得$n \geq N$都有，
\begin{align*}
  |a_n - b_n| & =             \\
              & = |a-b|       \\
              & \leq \epsilon
\end{align*}
假设$a \neq b$，那么取$\epsilon = \frac{1}{2}|a-b|$，此时，
\begin{align*}
  |a_n - b_n| & =  |a-b| > \epsilon
\end{align*}
存在矛盾，所以$a=b$

\section*{5.3.4}

证明：

$(b_n)_{n=0}^\infty$等价于$(a_n)_{n=0}^\infty$，即两个序列对有理数$\epsilon > 0$是最终$\epsilon -$接近的，
又因为$(a_n)_{n=0}^\infty$是有界的，由习题5.2.2可知$(b_n)_{n=0}^\infty$也是有界的。


\section*{5.3.5}

证明：

要证明$LIM_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n} = 0$，
也就是要证明$LIM_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{n}$与$LIM_{n \rightarrow \infty}0$的等价性。

对任意$\epsilon > 0$，当$n \leq \frac{1}{\epsilon}$有，
\begin{align*}
  |\frac{1}{n} - 0| = \frac{1}{n} \leq \epsilon
\end{align*}
所以两者是等价的，于是命题得证。


\end{document}